LEY DE COSENOS

La ley de cosenos sirve para resolver cualquier tipo de triángulos, y se utiliza para saber la longitud de algún lado del triangulo teniendo en cuenta que debemos conocer el valor de dos lados y el angulo opuesto al lado que se calculara.

A continuación mostrare un ejemplo.

Esta ley establece que: a²= b²+c²-2bc*cosA

                        b²= a²+c²-2ac*cosB

                        c²= a²+b²-2ab*cosC

Ya conociendo las formulas, vamos a sustituir.

                        

                        c²= 6²+5²-2(6)(5)*0.34

                        c²= 36+25-60*0.34

                        c²= 40.6

                        c = √40.6

                                                            c = 6.3

Y eso es todo, ya sacamos el valor del lado c del triangulo aplicando la ley de coseno. 

 TRISTAN RAMIREZ

                               Ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

 

 

 

                                        EJERCICIOS

1.   Si el complemento de ángulo x es 2x, ¿Cuál es el valor de x en grados?

Solución:

 2x + x = 90º

 3x = 90

 x = 90º/3

 x = 30º

2.-Si el suplemento del ángulo x es 5x, ¿Cuál es el valor de x?

 

 

Solución:

 

 5x + x = 180

 6x = 180º

 x = 180/6

 x = 30º

 

ANA KAREN UTC

 

 

 

 

 

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

 Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto).
Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo.

b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b

 Estas relaciones dependen del ángulo θ y no del tamaño del triángulo. Si dos triángulos tienen ángulos iguales son semejantes y sus lados son proporcionales.

Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante sus símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc.

Por ejemplo sen θ indica la relación b/c respecto a θ.

Si θ es el ángulo agudo del triángulo rectángulo entonces:

Sen θ = b/c

Cos θ = a/c

Tan θ = b/a

Cot θ = a/b

Sec θ = c/a

Csc θ = c/b

El dominio de cada una de las funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos. Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacencente , cateto opuesto e hipotenusa.

Es decir:

 

Sen θ = c. opuesto/hipotenusa

Cos θ = c. adyacente/hipotenusa

Tan θ = c. opuesto/c. adyacente

Cot θ = c. adyacente/c. opuesto

Sec θ = hipotenusa/c. adyacente

Csc θ = hipotenusa/c. opuesto

 

Los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo θ.

Seno y cosecante son recíprocas entre sí.

Coseno y secante son recíprocas entre sí.

Tangente y cotangente son recíprocas entre sí.

Sen θ = 1/csc

Cos θ = 1/sec

Tan θ = 1/cot

Cot θ = 1/tan

Sec θ = 1/cos

Csc θ = 1/sen

 

EJEMPLO

Si el ángulo θ es agudo y cos θ = 3/5, calcula el valor de las seis funciones trigonométricas de θ.

Cateto adyacente = 3

Hipotenusa = 5

Aplicando el teorema de Pitágoras :

3² + (c. opuesto)² = 5²

(c. opuesto)² = 5² – 3²

(c. opuesto)² = 16

Cateto opuesto = 4

Las funciones trigonométricas de este triangulo son las siguientes:

Sen θ = 4/5

Cos θ = 3/5

Tan θ = 4/3

Cot θ = 3/4

Sec θ = 5/3

Csc θ = 5/4

NOTA: Las calculadoras científicas tienen teclas como SIN, COS y TAN que se pueden usar para calcular los valores de esas funciones, antes de utilizar la calculadora para determinar los valores de funciones hay que seleccionar el modo grados o radian según nuestro ángulo.

Plano cartesiano :

Al hacer las gráficas de las funciones trigonométricas siempre suponemos que los ángulos están en radianes.

                         

Ejemplo:

 

ELI UTC

 

 

 

 

 

FUNCIONES TRIGNOMETRICAS

Sea el ángulo C, el ángulo base, se determina:

 

a) Cateto Opuesto = AB = Altura del edificio = h

b) Cateto Adyacente = BC = distancia = 18 metros.

 c) Ángulo = 54°

d) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es la función Tangente.

 

La altura del edificio según la posición del observador es de 24.77 metros, a ello, hay que sumarle la altura del observador, lo que nos proporciona:

Altura Total h = 24.77 metros + 1.72 metros = 26.49 metros

LEY DE SENO

Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º

Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.

LEY DE COSENO

Resolver un triángulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y B = 108º

 Dibujamos el triángulo, nos dan 2 lados y el ángulo que forman, calculamos el lado b

 

VOLUMENES 

 

 

Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

 

TIPOS DE ÁNGULOS

 

FRANCISCO JAVIER UTC

 

 

 

Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

 Para definir las razones trigonométricas del ángulo: Ω, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en el sucesivo será:

·         La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

·         El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo Ω.

·         El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo Ω.

EJEMPLO:

Para resolver un triángulo rectángulo implica tener la medida de todos sus ángulos y de todas las longitudes de sus lados. En donde se utilizan las razones trigonométricas y e teorema de pitaras f

undamentalmente, el cual se enuncia así... "EN TODO TRIANGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL ALAS SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS.

DETERMINAR LOS LADOS Y ÁNGULOS  FALTANTES EN CADA CASO 

1.-Resolver el siguiente triangulo cuando los catetos miden 3y 4 unidades imagen

Para obtener la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras, así se resuelve el ejercicio:

 

DETERMINAR LOS LADOS Y ÁNGULOS  FALTANTES EN CADA CASO 

 1.-Resolver el siguiente triangulo cuando los catetos miden 3y 4 unidades imagen

Para obtener la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras, así se resuelve el ejercicio:

EVELIN UTC

 

 

Ley de seno:

 La teoría de los seno se puede definir, como la relación de tres igualdades que siempre se cumple en los lados y ángulos de un triangulo cualquiera, la cual es útil para resolver ciertos tipos de problemas que generen un triangulo.

 

A pesar de ser unos de los teoremas más usados y tener una demostración relativamente fácil de explicar con respectos a los triángulos, es poco común que se presente o discuta en los cursos trigonométricos, su demostración se basa en la siguiente.

La aplicación de esta ley es utilizada para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

 Ley de coseno:

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo   es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

La teoria del coseno se conoce en un triangulo como; el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. ejemplo:

MARLEN UTC